向後差商法

『壹』 向後差分和向前差分求偏微分方程結果一樣嗎

許多物理現象隨著時間而發生變化、如熱傳導過程、氣體擴散過程和波的傳播過程都與時間有關。描述這些過程的偏微分方程具有這樣的性質；若初始時刻t=t0的解已給定，則t>t0時刻的解完全取決於初始條件和某些邊界條件。利用差分法解這類問題，就是從初始值出發，通過差分格式沿時間增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。 最簡單的雙曲型方程的初值問題是：

式中 為已知初值函數。這初值問題的解是：

由（2）可見，（1a）（1b）的解（2）當a>0時代表一個以有限的速度a沿特徵線x－at=常數向右傳播的波，而解 在點 的值完全由 在x軸上的點 的值決定。A點就是雙曲型方程（1a）在P點的依賴域（圖1）。現以初值問題（1）為例介紹初值問題差分方法的基本思想。

①剖分網格
用網格覆蓋（1a），（1b）的定解區域，如圖2所示，在x，t平面的上半部作兩族平行於坐標軸的直線：

並稱之為網格線。 分別稱為空間步長和時間步長。網格線的交點 稱為格點。

②建立差分格式
以下除特別聲明外，總設a>0，由泰勒公式，有：

即

式中

是微分方程（1a）用它的解在相鄰三個格點（見圖2）上的值的差分來表示的形式。略去（4）中關於 高階項 ，得到一個較簡單的差分方程，但微分方程的解 不再是這方程的解，設這個方程的解是 ， 滿足的方程是：

式（6）還可寫成：

初值條件（1b）此時就是：
差分方程（6）和相應的初值條件（7）合稱差分格式，利用這些格式可逐步算出t=△t，2△t，…各時間層的 ， ，…，等等。這個把微分方程化為近似的差分方程的過程常稱為離散化。
③差分格式的截斷誤差和相容性
（5）中的是把微分方程充分光滑的解代入差分方程（6）的結果，它說明微分方程（1a）和差分方程（6）的區別，稱為差分格式（6）的截斷誤差，式（6）的截斷誤差對△t和△x都是一階的，寫成O（△x+△t），因此稱差分格式（6）為一階相容格式。一般說，如果△x，△t趨於零，截斷誤差也趨於零，則差分方程與微分方程是相容的。不相容的格式的解不能作為原微分方程的近似解，因而是無用的。方程（1a）的離散化過程也不是唯一的。例如取數值微分公式：

代替微分方程（1a）中的 ，可得另一個差分方程：

它的截斷誤差是O（△x+△t）階的，也是相容的差分格式，再若用數值微分公式

代替（1a）中的 ，又得到截斷誤差為O（△x+△t）的相容差分格式：
但是，並不是每個相容格式都有用。
④差分格式的收斂性
設 是求解區域中的一點，取步長 使 ,用差分格式算出 ，如果當△x，△t→0時， 便可用步長 充分小時的作為微分方程的解 的近似，這種差分格式便是收斂的。
雙曲型微分方程的解，對求解區域內一點 而言，在初值區域內有一個依賴域，差分方程也是如此，對於差分方程（6），點 的依賴域是初值線上區間 。如令 =常數， ，則差分方程（6）在點 的依賴域為 ，並且步長比r固定時，依賴域與 無關。
差分方程（9）在 的依賴域是 ，而差分方程（11）的依賴域則是 ，R．庫朗等人曾經證明，差分格式收斂的一個必要條件是差分方程的依賴域應包含微分方程的依賴域，這個條件叫作「庫朗條件」。從圖3中可以看到，對於差分方程（6），這個條件是 ，即 。對於格式（9），庫朗條件是 ，兩者不同。對於格式（11），庫朗條件是 ；在a>0時，顯然不能成立，所以格式（11）當a>0時不收斂，因而也是無用的。格式（6）在a>0而庫朗條件 滿足時，的確是收斂的。因為 離散化誤差 適合

由此可知：

又因差分格式與微分方程的初值相同， 。於是可知

這說明條件 滿足時，格式（6）收斂。
如果a<0，格式（6）不收斂。但當 時，格式（11）收斂。這兩個格式稱為「迎風格式」，因為a>0時， 用向後差商代替，往上風取近似值；當a<0時則用向前差商代替，也是往上風取近似值。可見作（1）的差分格式時，要考慮波的傳播方向。
⑤差分格式的穩定性
用一個差分格式計算 時，初值 的誤差必然要影響到以後各層 。通常希望這誤差的影響不會越來越大，以致完全歪曲了差分方法的真解，這便是穩定性問題。討論時，常把問題化簡，設初值 有誤差 ，而以後的計算並不產生誤差，由於誤差 ，使 變成了 ，但 仍滿足 所適合的差分格式。定義一種衡量t=tn層格點上 的大小的所謂范數 ，若有常數K>0使當△t、△x→0而0≤t=n△t≤T時，恆有 ，則稱此差分格式是穩定的。以格式（6）為例，適合差分方程：

這說明，用格式（6）計算時，若步長比合於庫朗條件，則初值誤差的影響不增長，取使△t縮小，算到t=T時，也不再增大，因而格式是穩定的。
對於線性偏微分方程組的穩定性理論，J．von諾伊曼曾用傅里葉分析作了系統研究，把差分方程的解表成諧波的疊加，考察其中一個諧波

的增長情況，式中k為實數；G=G（k，△t）稱為增長因子。若對於一切諧波，（12）的振幅一致有界，即對一切合於O≤n△t≤T的n和充分小的△t都有|Gn|≤K，K為常數，則此差分格式是穩定的。具體地說，對格式（6），把（12）代入（6），得：
而
故當 時，|G|≤1，解的振幅不增加，所以格式（6）是穩定的。
相容性和庫朗條件都不能保證穩定性，例如對格式（9），把（12）代入，得：

而
故當sin k△x≠0時，恆有|G|>1，解的振幅逐層增加，所以雖然格式（9）是相容的格式，並且適合庫朗條件，但它仍是不穩定的，因而也是無用的。
P．D．拉克斯1956年曾證明，對於線性偏微分方程組的適定的初值問題，一個與之相容的線性差分格式是收斂的格式的充分必要條件是這格式的穩定性。
非線性問題沒有相應的等價定理。 物理上的定常問題，如彈性力學中的平衡問題，亞聲速流、不可壓枯性流、電磁場及引力場等可歸結為橢圓型方程。其定解問題為各種邊值問題，即要求解在某個區域D內滿足微分方程，在邊界上滿足給定的邊界條件。橢圓型方程的差分解法可歸結為選取合理的差分網格，建立差分格式，求解代數方程組以及考察差分格式的收斂性等問題。
偏微分方程邊值問題的差分方程組的特點是系數矩陣中非零元素很少，即是稀疏矩陣。近年來由於稀疏矩陣技術的發展，解差分方程組時，直接法受到了較多的重視。迭代法是用逐次逼近的方式得到差分方程組的解，它的存儲量小，程序簡單，因此常用於橢圓型差分方程組的求解。迭代方法很多，最基本的有三種：①同時位移法（也稱雅可比法）②逐個位移法（也稱賽德耳法）③鬆弛法三個方法中超鬆弛法收斂最快，是常用的方法之一。

『貳』 有限差分法的原理

以連續性原理與達西定律為基礎，對任何復雜的地下水流系統都可以建立其相應的數學模型，即地下水運動的微分方程和決定其解的初、邊值條件。但數學模型如何求解，常取決於地下水流系統水文地質條件概化的程度。

2.6.1.1離散化

有限差分法解地下水流系統的實質，是把要研究的滲流區域按一定的方式剖分(離散)成許多但有限的小均衡域。在一定的精度要求下，每個小均衡域內各種參數視為常數，小均衡域內的水頭以其中心的水頭為其代表，相鄰小均衡域間的水頭變化近似看做是線性的。把所要研究的滲流區域按一定方式剖分成許多但有限的小均衡域稱為對滲流區域的離散化。若以二維滲流區域為例，最簡單的剖分是用兩組相互正交的平行線把滲流區域剖分成許多矩形小均衡域。剖分約定:第一類邊界從小區域的中心經過;第二類邊界與小均衡域的邊界重合。小均衡域的中心叫節點(或結點)，可用適當的方法標定小均衡域及相應節點的編號。習慣作法是，將橫向的網格叫行，另一個方向的叫列，行與列均順序編號。於是位於第j行與第i列相交處的小均衡域及節點統一記為(i，j)。沿行與列的網格格距用Δx、Δy表示，叫空間步長。對於二維非穩定流來講，可取第三個坐標為時間t，若以Δt表示時間間隔，將二維網格按Δt向上重復而形成一個三維網格系，此時的小均衡域為一立方體，位於第m層的小均衡域及節點統一記為(i，j，m)。有限差分法所要計算的是(i，j)或(i，j，m)得近似值。

2.6.1.2地下水流的有限差分方程

以承壓水二維流為例建立有限差分方程。從離散化的滲流區域中取出一個小均衡域，如圖2.1。

圖2.1小均衡域圖

模型的假設條件:①地下水流為承壓水;②小均衡域除側向徑流外，無其他流量交換;③網格沿行及列分別為等距的，但行距與列距可以不等，且分別記為ΔX與ΔY;④離散點上的近似水頭值以h表示。

根據達西定律可算得小均衡域(i，j)在某瞬時的四個側向徑流量分別為:

1)沿右側流入:

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2)沿左側流入:

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3)沿下部流入:

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4)沿上部流入:

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單位時間流入小均衡域的總側向徑流量Q_t為:

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假定Δt時間內，小均衡域的水頭抬高Δh，小均衡域增加的水量Q_s為:

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式中:S_i，j—小均衡域(i，j)的儲水系數。

據質量守恆有:Q_t=Q_s

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此式為非均質各向異性承壓含水層二維非穩定流有限差分方程。

由此可以看出，有限差分方程實際上是基本偏微分方程的近似表達式，其近似的程度可通過泰勒級數來加以研究。由於地下水頭曲面一般來說是連續而光滑的，於是在剖分網格中根據泰勒公式可以寫出:

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或

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由式(2.2)得:

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其中:

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由此可知，用差商 代替導數 所產生的誤差o(Δx)。o(Δx)表示誤差中佔主導地位的是含ΔX的項，叫一階誤差。用差商代替導數時o(Δx)是被捨去的，因此o(Δx)又稱截斷誤差。在式(2.4)中處於x方向的i+1號在i號的前面，因此將 叫前向差商。同樣可定義後向差商為:

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其中:

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由式(2.2)與式(2.3)還可以得:

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其中:

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稱為中心差商。由上式可見用中心差商代替導數要比後向差商或前向差商代替導數的精度提高了一階。

同樣，二階偏導數也可以用差商來近似代替:

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可以類似地寫出用差商近似水頭對時間的導數，比如:

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在滲流區域內，每一個節點都可以建立一個類似於式(2.1)的方程，從而組成有限差分方程組。如果ΔX、ΔY、Δt取得足夠小，可望解此方程組而得到足夠精確地近似值。

2.6.1.33種主要差分格式

在式(2.1)中，等號左端的Δh用h_i，j，m+1－h_i，j，m代替時，對於等號右端項，可取m+1時刻，也可取m時刻，也可取m和m+1時刻的平均值。

當右端項取m+1時刻的水位時，為隱式差分格式:

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當右端項取m時刻的水位時，為顯式差分格式:

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當右端項取m和m+1時刻的平均值時，為中心差分格式或對稱差分格式:

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『叄』 一階前差商，後差商，中心差商有什麼區別在近似一階導數時，程序運行結果一樣嗎

向前向後差商的結果是一階精度的， 中心差商的結果是二階精度的。

『肆』 二次求導的符號為什麼 d2y/dx2

這種表示方法來源於萊布尼茲的對二階導數和高階導數的表示。

萊布尼茲表示法中，在導數的定義中引入下列符號（其中⊿y/⊿x為一階差商）：

『伍』 何謂差分和差商，如何構造偏導數的差商近似

有限元法，有限差分法和有限體積法的區別

有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用於結構力學，後來隨著計算機的發展慢慢用於流體力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所採用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組樣構成不同的有限元計算格式。對於權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有採用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。

對於有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期准備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由於各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。

有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。

有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控制體積中的守恆原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項採取不同的插值函數。

『陸』 材料科學在計算機中的應用課件

計算機在材料科學中的應用復習資料
考試題型：
不定項選擇：20分；
填空：20分；
名詞解釋：12分；
簡答：30分；
計算：18分（1個）
考試時間地點：
7月5日（20周周二）下午14：00—16：00 江安綜C504
復習內容：
選填、名解：
1、材料的分類：
根據其組成和結構，分為金屬材料、無機非金屬材料、有機高分子材料和復合材料等；
根據其性能特徵和作用，分為結構材料和功能材料等；
根據用途，分為建築材料、能源材料、電子材料、耐火材料、醫用材料和耐腐蝕材料等。
2、曲線擬合和最小二乘法：
最小二乘法：在方差意義下對實驗數據實現最佳擬合的方法。
曲線擬合：根據一組數據，即若干點，要求確定一個函數，即曲線，使這些點與曲線總體來說盡量接近。（目的：根據實驗獲得的數據去建立因變數與自變數之間有效的經驗函數關系，為進一步的深入研究提供線索。）
3、建立數學模型的基本步驟：
1）建模准備(收集相關信息數據，弄清背景和目的)
2）建模假設(目的性、簡明性、真實性、全面性)
3）構造模型(區分參量，選擇恰當的工具和構造方法)
4）模型求解(設計或選擇求解模型的數學方法和演算法)
5）模型分析(穩定性分析、靈敏度分析、誤差分析)
6）模型檢驗(是否符合客觀)
7）模型應用(建模的宗旨，對模型最客觀，公正的檢驗)
4、有限差分法（FDM）基本原理、實質：
基本原理：有限差分法(FDM)將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。FDM通過Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。
實質：以有限查分代替無限微分、以差分代數方程代替微分方程、以數值計算代替數學推導的過程，從而將連續函數離散化，以有限的、離散的數值代替連續的函數分布。
5.有限元法（FEM）的基礎、基本思想，網格劃分方法：
有限元法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本思想是把連續的幾何結構離散成有限個單元，並在每一個單元中設定有限個節點，從而將連續體看作僅在節點處相連接的一組單元的集合體，同時選定場函數的節點值作為基本未知量，並在每一單元中假設一近似插值函數以表示單元中場函數的分布規律，再建立用於求解節點未知量的有限元方程組，從而將一個連續域中的無限自由度問題化為有限域中的有限自由度問題，求解得到節點值後就可以通過設定的插值函數確定單元上以至整個集合體上的場函數。
有限元法的基礎是用有限個單元體的集合來代替原有的連續體。因此首先要對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節點相連接。由單元、結點、結點連線構成的集合稱為網格。
通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網格。
6、名詞解釋：節點、單元
節點：用於確定單元形狀、表述單元特徵及連接相鄰單元的點稱為節點。節點是有限元模型中的最小構成元素。多個單元可以共用一個節點，節點起連接單元和實現數據傳遞的作用。
單元：有限元模型中每一個小的塊體稱為一個單元。根據其形狀的不同，可以將單元劃分為以下幾種類型：線段單元、三角形單元、四邊形單元、四面體單元和六面體單元等。
7.FDM與FEM的區別：
1）有限元法處理物理問題，不需要建立微分方程這一步驟，並且其物理問題在離散化的整個過程中就始終具有明確的物理意義。而有限差分法則不然。兩種方法處理問題的數學方法有較大差別。
2）有限差分法和有限元法在對區域的離散化方法上也有明顯的差別。有限元法的三角形劃分區域配置比較任意，其對邊界和界面的逼近良好，有較好的計算精度。計算格式復雜，但其可以計算機化，程序也易標准化，故不影響其實際應用。
3）有限元法用統一的觀點對區域內的節點和邊界節點列出計算格式。這樣各節點的計算精度總體比較協調。而有限差分法各節點精度總體上不夠一致。
4）有限元法要求計算機內存量較大，需要准備輸入的數據量也比較大，這是它的缺點之一。事實上，有限差分法比有限元法使用的更廣法，有很多物理問題目前不能用有限元法處理，但總能可以用有限差分法處理。特別是在邊界形狀比較規則時，採用有限差分法是最合適的。
8、Monte Carlo方法的隨機數生成法，偽隨機數檢驗的兩個最基本原則：
物理方法：用物理方法產生隨機數的基本原理是：利用某些物理現象，在計算機上增加些特殊設備，可以在計算機上直接產生隨機數。這些特殊設備稱為隨機數發生器。用來作為隨機數發生器的物理源主要有兩種：一種是根據放射性物質的放射性，另一種是利用計算機的固有雜訊。
數學方法：在計算機上產生隨機數最實用、最常見的方法是數學方法，即用遞推公式產生隨機數序列。對於給定的初始值ξ1,ξ2…，ξk，確定ξn+k，n=1，2，…。經常使用的是k=1的情況，對於給定的初始值ξ1，確定ξn+1，n=1,2…
由於用數學方法產生的隨機數存在兩個問題，常稱用數學方法產生的隨機數為偽隨機數。用數學方法產生的偽隨機數容易在計算機上得到，可以進行復算，而且不受計算機型號的限制。因此，這種方法雖然存在著一些問題，但仍然被廣泛地在計算機上使用，是在計算機上產生偽隨機數的主要方法。
如今比較流行的，並用的最多的是同餘產生器，其通過如下線性同餘關系式來產生數列

其中，x0稱為種子。a,c,x0,m為大於零的整數，分別稱為乘子，增量，初值和模。使用時需要仔細挑選模數m和乘子a，使得產生出的偽隨機數的循環周期要盡可能的長。c0時能實現最大的周期，但是得到的偽隨機數特性不好。通常選取x0為任意的非負整數，乘子a和增量c取如:a=4q+1，c=2p+1 p,q為正整數。p, q, x0, m值選擇一般是通過定性分析和計算機實驗來選擇，使得到的偽隨機數列具有足夠長的周期，而且獨立性和均勻性都能通過一系列的檢驗。
偽隨機數特性好壞是通過各種統計檢驗來確定的，這些檢驗包括均勻性檢驗，獨立性檢驗，組合規律檢驗，無連貫性檢驗，參數檢驗等等。最基本的是均勻性和獨立性的好壞檢驗。
9、分子動力學中的勢函數及其基本限制：
勢函數：對勢(雙體勢)認為原子之間的相互作用是兩兩之間的作用，與其他原子的位置無關，在分子晶體，離子型化合物以及部分金屬的模擬計算之中取得了比較大的成功。如Lennard-Jones勢(下圖) 常用於描述氣體分子或水分子間的作用力；Morse勢和Johnson勢常用於描述金屬。但對於過渡金屬，由於金屬鍵中還含有一定的共價鍵，所以遇到困難。


MD法和隨機模擬法一樣，面臨兩個基本限制：一是有限觀測時間的限制；二是有限系統大小限制。
10、傅立葉導熱方程：
法國數學家Fourier通過對導熱數據和實踐經驗的歸納研究，將導熱規律總結為Fourier定律，即單位時間內通過等溫面的熱流量與溫度梯度及傳熱面積成正比：


dQ為單位時間內通過等溫面的熱流量(W)；k為材料導熱系數(W/m.K)；n為邊界法向；s為等溫面面積(m2)；T為溫度(K)。
11、應力場及應力—應變關系：
1) 應力
材料在外力作用下，其尺寸和幾何形狀會發生改變，在產生「變形」的同時，材料內部各部分之間會產生「附加內力」，簡稱「內力」。截面上某點處的應力，也就是這點處分布內力的集度，反映了截面上此點處內力的大小和方向。一點處的應力可以看作是該點位置坐標及所取截面方向的函數。
為描述彈性材料中一點P處的應力狀態，圍繞P點取出一個棱長為dx，dy，dz的微單元體，由於dx，dy，dz趨於無限小，這個單元體可等同於要考察的P點，因此研究單元體各個截面上的應力，也就等同於研究P點的應力狀態。如下圖：
彈性力學證明，六個切應力分量具有如下關系：

因此，如果已知材料任一點P處的x, y, z, xy , zy , zx這六個應力分量，就可以求出經過此點任意截面的正應力與切應力。也就是說這六個應力分量相互獨立，能夠唯一確定材料內任意一點處的應力狀態。


2) 應變
描述物體受力發生變形後相對位移的力學量稱為應變。應變分為正應變和切應變，由六個應變分量表示，分別為x, y, z, xy, yz, zx。正應變是指平行六面體各邊的單位長度的相對伸縮；切應變是指平行六面體各邊之間直角的改變，以弧度表示。對於正應變，伸長時為正，縮短時為負；對於切應變，兩個沿坐標軸正方向的線段組成的直角變小時為正，變大時為負。
3）物理方程(應力應變關系方程)
彈性體的應力應變關系可用Hooke定律描述。在三維情況下，彈性體內任意一點獨立的應力分量有六個，其應力應變關系可以由廣義Hooke定律表示為：
式中：E為彈性模量，v為泊松比，
12、金屬中擴散規律：
Fick第一定律：
不均勻體系中，各自獨立的分子群從高濃度區域遷移到低濃度區域的過程稱為擴散。在穩態擴散條件下，擴散物質垂直穿過第i個單位截面的擴散通量(Ji)跟穿過擴散方程的濃度梯度(ci/ x)及其擴散系數(Di)有直接關系：

這就是Fick第一擴散定律的一維形式，負號表示通量是往濃度減少的方向。造成梯度的原因主要是濃度分布不均。
Fick第二定律：
實際上，大多數重要的擴散是非穩態的，在擴散過程中擴散物質的濃度隨時間而變化。為了研究這種情況，根據擴散物質的質量平衡，在Fick第一定律基礎上推導了Fick第二定律，即：

如果Di為常數，得到：
如果是三維情況，則在x,y,z方向上的擴散系數分別為Dx,Dy,Dz，得到:


當為各向同性時，即Dx=Dy=Dz=D，得到：
13、資料庫組成與特徵：
資料庫系統是指由資料庫，資料庫管理系統，應用程序，資料庫管理員，用戶等構成的人機系統。現代資料庫系統至少包括以下三個部分：i)資料庫，一個結構化的相關數據的集合，包括數據本身和數據間的聯系，它獨立於應用程序而存在，是資料庫系統的核心和管理對象；ii)物理存儲器，保存數據的硬體介質，如磁碟，光碟等大容量存儲器；iii)資料庫軟體，負責對資料庫管理和維護的軟體。具有對數據進行定義，描述，操作和維護的功能，接受並完成用戶程序及終端命令對資料庫的不同請求，負責保護數據免受各種干擾和破壞。
主要特徵：和文件管理方式相比，計算機資料庫系統管理數據有以下幾個特徵：
a) 數據共享
b) 數據獨立性
c) 減少數據冗餘
d) 數據的結構化
e) 統一的數據保護功能
14、專家系統的組成：
專家系統由知識庫、綜合資料庫、推理機、知識獲取機制、解釋機制和人機介面六個部分組成。

知識庫是問題求解所需要的領域知識的集合，包括基本事實、規則和其他有關信息。
綜合資料庫主要由問題的有關初始數據和系統求解期間所產生的中間信息組成。
推理機是實施問題求解的核心執行機構，它實際上是對知識進行解釋的程序，根據知識的語義，對按一定策略找到的知識進行解釋執行，並把結果記錄到動態庫的適當空間中。
知識獲取機制負責建立、修改和擴充知識庫，主要是為了實現專家系統的自我學習，在系統使用過程中能自動獲取知識，不斷完善擴大現有系統功能。
解釋機制是對求解過程做出說明，並回答用戶的提問。兩個最基本的問題是「Why」和「How」。
人機介面的主要功能是實現系統與用戶之間的雙向信息轉換，即系統將用戶的輸入信息翻譯成系統所熟悉的信息表達方式。
專家系統的工作過程是系統根據用戶提出的目標，以綜合資料庫為出發點，在控制策略的指導下，由推理機運用知識庫中的有關知識，通過不斷的探索推理以實現求解的目標。
15、材料設計的概念及其三個層次：
定義：運用高性能計算機和功能強大的材料專業軟體對材料科學與工程學科的基本要素及各要素之間的關系進行定量或半定量表徵，在計算機上進行材料的成分和工藝設計，並預測其結構和性能，這就是所謂材料設計與模擬，又名計算材料學。
材料設計的研究層次，目前未有統一和嚴格的劃分。一般來說，可按研究對象的空間尺度劃分為三個層次：微觀設計層次，空間尺度約為1nm；連續模型層次，尺度約為1m；工程設計層次，尺度對應宏觀材料，涉及大塊材料的加工和使用性能。

16、第一性原理的概念：
所謂第一性原理，是指只需要5個基本物理常數(電子質量me、電子電量e、普朗克常數h、真空的光速c和玻爾茲曼常數kB)以及原子種類和原子在空間中的位置安排(即晶體結構)，不需要其它經驗參數，就可以非常精確地計算出體系的總能、微觀結構與狀態。

二、簡答
1、計算機在材料科學與工程中的五大應用：(課本2—5頁，自己總結歸納)
1）用於新材料和新合金的設計：
2）用於材料科學研究中的模擬：
3）用於材料工藝過程的優化及自動控制：
4）用於材料組成和微觀結構的表徵：
5）用於數據和圖像處理及其他：
2.數學模型的含義和分類：
數學模型定義：
以相應的客觀原型作為背景加以抽象的數學概念、數學式子、數學理論等叫做數學模型。或者是那些反映特定問題或特定事物系統的數學符號系統叫做數學模型。其目的是解決實際的問題。
數學模型分類：
按建立模型的數學方法分類：圖論模型、微分方程模型、隨機模型、模擬模型等。
按模型的特徵分類：離散模型、連續性模型、線性模型和非線性模型等。
3、FDM和FEM的解題步驟：
FDM解題步驟：
1)建立微分方程
根據問題的性質選擇計算區域，建立微分方程式，寫出初始條件和邊界條件。
2)構建差分格式
首先對求解區域進行離散化，確定計算節點，選擇網格布局、差分形式和步長；然後以有限差分代替無限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及邊界條件。
3)求解差分方程
差分方程通常是一組數量較多的線性代數方程，其求解方法主要包括：精確法和近似法。精確法又叫直接法，主要包括矩陣法、Gauss消元法及主元素消元法等；近似法又叫間接法，以迭代法為主，包括直接迭代法、間接迭代法以及超鬆弛迭代法。
4)精度分析和檢驗
對所得到的數值進行精度與收斂性分析和檢驗。
FEM解題步驟：
有限元法的計算步驟歸納為以下三個基本步驟：網格劃分，單元分析，整體分析。
1）網格劃分
有限元法的基礎是用有限個單元體的集合來代替原有的連續體。因此首先要對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節點相連接。由單元、結點、結點連線構成的集合稱為網格。
通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網格。
2）單元分析
對於彈性力學問題，單元分析，就是建立各個單元的節點位移和節點力之間的關系式。
由於將單元的節點位移作為基本變數，進行單元分析首先要為單元內部的位移確定一個近似表達式，然後計算單元的應變、應力，再建立單元中節點力與節點位移的關系式。
3） 整體分析
對由各個單元組成的整體進行分析，建立節點外載荷與結點位移的關系，以解出結點位移，這個過程為整體分析。再以彈性力學的平面問題為例，如右圖所示，在邊界結點i上受到集中力作用。結點i是三個單元的結合點，因此要把這三個單元在同一結點上的結點力匯集在一起建立平衡方程。
4.專家系統的分類：
按照工程中求解問題的不同性質，將專家系統分為下列幾類：
1）解釋專家系統：通過對已知信息和數據的分析和解釋，確定它們的含義，如圖像分析、化學結構分析和信號解釋等。
2）預測專家系統：通過對過去和現在已知狀況的分析，推斷未來可能發生的情況，如天氣預報、人口預測、經濟預測、軍事預測。
3）診斷專家系統：根據觀察到得情況來推斷某個對象機能失常（即故障）的原因，如醫療診斷、軟體故障診斷、材料失效診斷等。
4）設計專家系統：工具設計要求，求出滿足設計問題約束的目標配置，如電路設計、土木建築工程設計、計算機結構設計、機械產品設計和生產工藝設計等。
5）規劃專家系統：找出能夠達到給定目標的動作序列或步驟，如機器人規劃、交通運輸調度、工程項目論證、通信與軍事指揮以及農作物施肥方案等。
6）監視專家系統：對系統、對象或過程的行為進行不斷觀察，並把觀察到行為與其應當具有的行為進行比較，以便發現異常情況，發出警報，如核電站的安全監視等。
7）控制專家系統：自適應地管理一個受控對象的全面行為，使之滿足預期的要求，如空中交通管制、商業管理、作戰管理、自主機器人控制、生產過程式控制制。

三、計算：
有限差分法在熱傳導方面的應用：
FDM解題示例
1. 問題
設有一爐牆，厚度為 ，爐牆的內壁溫度T0=900C，外壁溫度Tm=100 C，求爐牆沿厚度方向上的溫度分布。
2. 分析
這是一個一維穩態熱傳導問題，其邊界條件為T0=900C， Tm=100 C，可以用有限差分法求得沿爐牆厚度方向上的若干個節點的溫度值。

FDM的數學基礎：
在數值計算中，函數(function)被考慮成兩列表格的形式。一列是獨立變數的(離散)值xi,一列是xi處相應的函數值，記為fi或f(xi)。
採用運算元(operator)的觀點，定義三種運算元：
(向前差分運算元): fi fi+1 fi
(向後差分運算元): fi fi fi1
(中心差分運算元): fi fi+1/2 fi1/2
其中，fi1 = f(xih), fi1/2 = f(xih/2), xi+1xi=h,對所有i相同。
上述對應於一階導數的差分稱為一階差分，相應的對應於二階導數的差分稱為二階差分：
2fi =( fi+1 fi)=fi+22fi+1+fi
2fi = ( fi fi1)=fi2fi1+fi2
2fi =fi+12fi+fi1
三種運算元有關系： 2= 。其餘高階差分可以依次類推。
函數的差分與自變數的差分之比，稱為函數對自變數的差商。以二階為例，其三種形式為：
向前差商：

向後差商：

中心差商：
多元函數的差分與差商也可用類似方法得到。
有限差分法的本質是用差分代替微分，用差商代替微商的幾何意義是用函數在某區域內的平均變化率來代替函數的真實變化率。對於一階微商，存在以下三種典型的差分形式：
向前差商：

向後差商：

中心差商：
根據泰勒級數，可以計算出上述三種差分形式的誤差，分別為：

從這三式可以看出，用不同方法定義的差商代替微商所引起的誤差是不同的。用向前差商或向後差商代替微商，其階段誤差為O(x)，是x的一次方的數量級；用中心差商代替微商，其截斷誤差為O(x)2，是x二次方的數量級，即用中心差商代替微商比用向前差商或向後差商代替微商的誤差小一個數量級。
因此，在應用FDM進行計算的時候，必須注意差分方程的形式，建立方法及由此產生的誤差。
注意：1、選節點數目要適當4—5個為宜；
2、要嚴格依照解題步驟答題，尤其不要遺漏最後的精度分析和檢驗步驟。

『柒』 插值求導法

按照數學上的定義，一階導數

地球物理數據處理基礎

那麼，對於已知f（x）在區間［a，b］上等距的n＋1個節點a＝x₀<x₁<x₂<…<x_n＝b的觀測值f₀，f₁，f₂，…，f_n，如果精度要求不高，我們可以簡單地取差商作為導數的近似值，這樣便建立起一種用差商表示微分的方法：

地球物理數據處理基礎

類似的，也可用向後和中心差商作近似運算：

地球物理數據處理基礎

其實，中心差商式（7－19）是向前差商式（7－17）和向後差商式（7－18）的平均值。

因此，用差商的方法求數值微分是將導數計算歸結為計算f（x）在若干節點上的函數值。下面，我們來分析差商法計算微分的誤差，將f（x）在x＝x_i處作泰勒級數展開有

地球物理數據處理基礎

將上式代入式（7－19）右端項，得

地球物理數據處理基礎

由此可知，從截斷誤差的角度分析，步長h越小，計算結果越精確。但當h很小時，f（x_i＋h）與f（x_i－h）很接近，直接相減會造成有效數字的嚴重損失，因此從舍入誤差的角度來看，步長h是不宜太小的。下面的例子就很能說明該問題。

［例1］已知 請用中心差商公式求在x＝2處的一階導數，保留4位有效數字，計算結果見表7－1（導數的准確值f′（2）＝0.353553）。

表7－1 不同步長的導數計算結果

可見,h＝0.1時的逼近效果最好，步長太小，反而逼近的效果越來越差。因此，應綜合考慮兩種誤差因素，選取h要適當。

『捌』 三階差商公式

向前差商公式：f'=(f(x0)-f(x0-h))/h。

向後差商公式：f'=(f(x0)-f(x0+h))/h。

中心差商公式：f'=(f(x0+h)-f(x0-h))/2h或者中心差商公式：f'=(f(x0+h/2)-f(x0-h/2))/h。

簡介

差商即均差，一階差商是一階導數的近似值。對等步長(h)的離散函數f(x)，其n階差商就是它的n階差分與其步長的n次冪的比值。

例如n=1時，若差分取向前的或向後的，所得一階差商就是函數的導數的一階近似；若差分取中心的，則所得一階差商是導數的二階近似。

『玖』 差商公式：中心差商公式，向前差商公式，向後差商公式

向前差商公式：f'=(f(x0)-f(x0-h))/h
向後差商公式：f'=(f(x0)-f(x0+h))/h
中心差商公式：f'=(f(x0+h)-f(x0-h))/2h或者中心差商公式：f'=(f(x0+h/2)-f(x0-h/2))/h

『拾』 左差商公式

差商公式有向前差商，向後差商及中心差商公式。
向前差商公式：f'=(f(x0)-f(x0-h))/h
向後差商公式：f'=(f(x0)-f(x0+h))/h
中心差商公式：f'=(f(x0+h)-f(x0-h))/2h或者中心差商公式：f'=(f(x0+h/2)-f(x0-h/2))/h