向后差商法
『壹』 向后差分和向前差分求偏微分方程结果一样吗
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。 最简单的双曲型方程的初值问题是：
式中 为已知初值函数。这初值问题的解是：
由（2）可见，（1a）（1b）的解（2）当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x－at=常数向右传播的波，而解 在点 的值完全由 在x轴上的点 的值决定。A点就是双曲型方程（1a）在P点的依赖域（图1）。现以初值问题（1）为例介绍初值问题差分方法的基本思想。
①剖分网格
用网格覆盖（1a），（1b）的定解区域，如图2所示，在x，t平面的上半部作两族平行于坐标轴的直线：
并称之为网格线。 分别称为空间步长和时间步长。网格线的交点 称为格点。
②建立差分格式
以下除特别声明外，总设a>0，由泰勒公式，有：
即
式中
是微分方程（1a）用它的解在相邻三个格点（见图2）上的值的差分来表示的形式。略去（4）中关于 高阶项 ，得到一个较简单的差分方程，但微分方程的解 不再是这方程的解，设这个方程的解是 ， 满足的方程是：
式（6）还可写成：
初值条件（1b）此时就是：
差分方程（6）和相应的初值条件（7）合称差分格式，利用这些格式可逐步算出t=△t，2△t，…各时间层的 ， ，…，等等。这个把微分方程化为近似的差分方程的过程常称为离散化。
③差分格式的截断误差和相容性
（5）中的是把微分方程充分光滑的解代入差分方程（6）的结果，它说明微分方程（1a）和差分方程（6）的区别，称为差分格式（6）的截断误差，式（6）的截断误差对△t和△x都是一阶的，写成O（△x+△t），因此称差分格式（6）为一阶相容格式。一般说，如果△x，△t趋于零，截断误差也趋于零，则差分方程与微分方程是相容的。不相容的格式的解不能作为原微分方程的近似解，因而是无用的。方程（1a）的离散化过程也不是唯一的。例如取数值微分公式：
代替微分方程（1a）中的 ，可得另一个差分方程：
它的截断误差是O（△x+△t）阶的，也是相容的差分格式，再若用数值微分公式
代替（1a）中的 ，又得到截断误差为O（△x+△t）的相容差分格式：
但是，并不是每个相容格式都有用。
④差分格式的收敛性
设 是求解区域中的一点，取步长 使 ,用差分格式算出 ，如果当△x，△t→0时， 便可用步长 充分小时的作为微分方程的解 的近似，这种差分格式便是收敛的。
双曲型微分方程的解，对求解区域内一点 而言，在初值区域内有一个依赖域，差分方程也是如此，对于差分方程（6），点 的依赖域是初值线上区间 。如令 =常数， ，则差分方程（6）在点 的依赖域为 ，并且步长比r固定时，依赖域与 无关。
差分方程（9）在 的依赖域是 ，而差分方程（11）的依赖域则是 ，R．库朗等人曾经证明，差分格式收敛的一个必要条件是差分方程的依赖域应包含微分方程的依赖域，这个条件叫作“库朗条件”。从图3中可以看到，对于差分方程（6），这个条件是 ，即 。对于格式（9），库朗条件是 ，两者不同。对于格式（11），库朗条件是 ；在a>0时，显然不能成立，所以格式（11）当a>0时不收敛，因而也是无用的。格式（6）在a>0而库朗条件 满足时，的确是收敛的。因为 离散化误差 适合
由此可知：
又因差分格式与微分方程的初值相同， 。于是可知
这说明条件 满足时，格式（6）收敛。
如果a<0，格式（6）不收敛。但当 时，格式（11）收敛。这两个格式称为“迎风格式”，因为a>0时， 用向后差商代替，往上风取近似值；当a<0时则用向前差商代替，也是往上风取近似值。可见作（1）的差分格式时，要考虑波的传播方向。
⑤差分格式的稳定性
用一个差分格式计算 时，初值 的误差必然要影响到以后各层 。通常希望这误差的影响不会越来越大，以致完全歪曲了差分方法的真解，这便是稳定性问题。讨论时，常把问题化简，设初值 有误差 ，而以后的计算并不产生误差，由于误差 ，使 变成了 ，但 仍满足 所适合的差分格式。定义一种衡量t=tn层格点上 的大小的所谓范数 ，若有常数K>0使当△t、△x→0而0≤t=n△t≤T时，恒有 ，则称此差分格式是稳定的。以格式（6）为例，适合差分方程：
这说明，用格式（6）计算时，若步长比合于库朗条件，则初值误差的影响不增长，取使△t缩小，算到t=T时，也不再增大，因而格式是稳定的。
对于线性偏微分方程组的稳定性理论，J．von诺伊曼曾用傅里叶分析作了系统研究，把差分方程的解表成谐波的叠加，考察其中一个谐波
的增长情况，式中k为实数；G=G（k，△t）称为增长因子。若对于一切谐波，（12）的振幅一致有界，即对一切合于O≤n△t≤T的n和充分小的△t都有|Gn|≤K，K为常数，则此差分格式是稳定的。具体地说，对格式（6），把（12）代入（6），得：
而
故当 时，|G|≤1，解的振幅不增加，所以格式（6）是稳定的。
相容性和库朗条件都不能保证稳定性，例如对格式（9），把（12）代入，得：
而
故当sin k△x≠0时，恒有|G|>1，解的振幅逐层增加，所以虽然格式（9）是相容的格式，并且适合库朗条件，但它仍是不稳定的，因而也是无用的。
P．D．拉克斯1956年曾证明，对于线性偏微分方程组的适定的初值问题，一个与之相容的线性差分格式是收敛的格式的充分必要条件是这格式的稳定性。
非线性问题没有相应的等价定理。 物理上的定常问题，如弹性力学中的平衡问题，亚声速流、不可压枯性流、电磁场及引力场等可归结为椭圆型方程。其定解问题为各种边值问题，即要求解在某个区域D内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。椭圆型方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式，求解代数方程组以及考察差分格式的收敛性等问题。
偏微分方程边值问题的差分方程组的特点是系数矩阵中非零元素很少，即是稀疏矩阵。近年来由于稀疏矩阵技术的发展，解差分方程组时，直接法受到了较多的重视。迭代法是用逐次逼近的方式得到差分方程组的解，它的存储量小，程序简单，因此常用于椭圆型差分方程组的求解。迭代方法很多，最基本的有三种：①同时位移法（也称雅可比法）②逐个位移法（也称赛德耳法）③松弛法三个方法中超松弛法收敛最快，是常用的方法之一。
『贰』 有限差分法的原理
以连续性原理与达西定律为基础，对任何复杂的地下水流系统都可以建立其相应的数学模型，即地下水运动的微分方程和决定其解的初、边值条件。但数学模型如何求解，常取决于地下水流系统水文地质条件概化的程度。
2.6.1.1离散化
有限差分法解地下水流系统的实质，是把要研究的渗流区域按一定的方式剖分(离散)成许多但有限的小均衡域。在一定的精度要求下，每个小均衡域内各种参数视为常数，小均衡域内的水头以其中心的水头为其代表，相邻小均衡域间的水头变化近似看做是线性的。把所要研究的渗流区域按一定方式剖分成许多但有限的小均衡域称为对渗流区域的离散化。若以二维渗流区域为例，最简单的剖分是用两组相互正交的平行线把渗流区域剖分成许多矩形小均衡域。剖分约定:第一类边界从小区域的中心经过;第二类边界与小均衡域的边界重合。小均衡域的中心叫节点(或结点)，可用适当的方法标定小均衡域及相应节点的编号。习惯作法是，将横向的网格叫行，另一个方向的叫列，行与列均顺序编号。于是位于第j行与第i列相交处的小均衡域及节点统一记为(i，j)。沿行与列的网格格距用Δx、Δy表示，叫空间步长。对于二维非稳定流来讲，可取第三个坐标为时间t，若以Δt表示时间间隔，将二维网格按Δt向上重复而形成一个三维网格系，此时的小均衡域为一立方体，位于第m层的小均衡域及节点统一记为(i，j，m)。有限差分法所要计算的是(i，j)或(i，j，m)得近似值。
2.6.1.2地下水流的有限差分方程
以承压水二维流为例建立有限差分方程。从离散化的渗流区域中取出一个小均衡域，如图2.1。
图2.1小均衡域图
模型的假设条件:①地下水流为承压水;②小均衡域除侧向径流外，无其他流量交换;③网格沿行及列分别为等距的，但行距与列距可以不等，且分别记为ΔX与ΔY;④离散点上的近似水头值以h表示。
根据达西定律可算得小均衡域(i，j)在某瞬时的四个侧向径流量分别为:
1)沿右侧流入:
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2)沿左侧流入:
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3)沿下部流入:
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4)沿上部流入:
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单位时间流入小均衡域的总侧向径流量Qt为:
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假定Δt时间内，小均衡域的水头抬高Δh，小均衡域增加的水量Qs为:
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式中:Si，j—小均衡域(i，j)的储水系数。
据质量守恒有:Qt=Qs
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此式为非均质各向异性承压含水层二维非稳定流有限差分方程。
由此可以看出，有限差分方程实际上是基本偏微分方程的近似表达式，其近似的程度可通过泰勒级数来加以研究。由于地下水头曲面一般来说是连续而光滑的，于是在剖分网格中根据泰勒公式可以写出:
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或
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由式(2.2)得:
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其中:
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由此可知，用差商 代替导数 所产生的误差o(Δx)。o(Δx)表示误差中占主导地位的是含ΔX的项，叫一阶误差。用差商代替导数时o(Δx)是被舍去的，因此o(Δx)又称截断误差。在式(2.4)中处于x方向的i+1号在i号的前面，因此将 叫前向差商。同样可定义后向差商为:
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其中:
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由式(2.2)与式(2.3)还可以得:
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其中:
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称为中心差商。由上式可见用中心差商代替导数要比后向差商或前向差商代替导数的精度提高了一阶。
同样，二阶偏导数也可以用差商来近似代替:
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可以类似地写出用差商近似水头对时间的导数，比如:
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在渗流区域内，每一个节点都可以建立一个类似于式(2.1)的方程，从而组成有限差分方程组。如果ΔX、ΔY、Δt取得足够小，可望解此方程组而得到足够精确地近似值。
2.6.1.33种主要差分格式
在式(2.1)中，等号左端的Δh用hi，j，m+1－hi，j，m代替时，对于等号右端项，可取m+1时刻，也可取m时刻，也可取m和m+1时刻的平均值。
当右端项取m+1时刻的水位时，为隐式差分格式:
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当右端项取m时刻的水位时，为显式差分格式:
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当右端项取m和m+1时刻的平均值时，为中心差分格式或对称差分格式:
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『叁』 一阶前差商，后差商，中心差商有什么区别在近似一阶导数时，程序运行结果一样吗
向前向后差商的结果是一阶精度的， 中心差商的结果是二阶精度的。
『肆』 二次求导的符号为什么 d2y/dx2
这种表示方法来源于莱布尼兹的对二阶导数和高阶导数的表示。
莱布尼兹表示法中，在导数的定义中引入下列符号（其中⊿y/⊿x为一阶差商）：
『伍』 何谓差分和差商，如何构造偏导数的差商近似
有限元法，有限差分法和有限体积法的区别
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。
有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。
『陆』 材料科学在计算机中的应用课件
计算机在材料科学中的应用复习资料
考试题型：
不定项选择：20分；
填空：20分；
名词解释：12分；
简答：30分；
计算：18分（1个）
考试时间地点：
7月5日（20周周二）下午14：00—16：00 江安综C504
复习内容：
选填、名解：
1、材料的分类：
根据其组成和结构，分为金属材料、无机非金属材料、有机高分子材料和复合材料等；
根据其性能特征和作用，分为结构材料和功能材料等；
根据用途，分为建筑材料、能源材料、电子材料、耐火材料、医用材料和耐腐蚀材料等。
2、曲线拟合和最小二乘法：
最小二乘法：在方差意义下对实验数据实现最佳拟合的方法。
曲线拟合：根据一组数据，即若干点，要求确定一个函数，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。（目的：根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。）
3、建立数学模型的基本步骤：
1）建模准备(收集相关信息数据，弄清背景和目的)
2）建模假设(目的性、简明性、真实性、全面性)
3）构造模型(区分参量，选择恰当的工具和构造方法)
4）模型求解(设计或选择求解模型的数学方法和算法)
5）模型分析(稳定性分析、灵敏度分析、误差分析)
6）模型检验(是否符合客观)
7）模型应用(建模的宗旨，对模型最客观，公正的检验)
4、有限差分法（FDM）基本原理、实质：
基本原理：有限差分法(FDM)将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。FDM通过Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
实质：以有限查分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。
5.有限元法（FEM）的基础、基本思想，网格划分方法：
有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本思想是把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为有限域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
6、名词解释：节点、单元
节点：用于确定单元形状、表述单元特征及连接相邻单元的点称为节点。节点是有限元模型中的最小构成元素。多个单元可以共用一个节点，节点起连接单元和实现数据传递的作用。
单元：有限元模型中每一个小的块体称为一个单元。根据其形状的不同，可以将单元划分为以下几种类型：线段单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元和六面体单元等。
7.FDM与FEM的区别：
1）有限元法处理物理问题，不需要建立微分方程这一步骤，并且其物理问题在离散化的整个过程中就始终具有明确的物理意义。而有限差分法则不然。两种方法处理问题的数学方法有较大差别。
2）有限差分法和有限元法在对区域的离散化方法上也有明显的差别。有限元法的三角形划分区域配置比较任意，其对边界和界面的逼近良好，有较好的计算精度。计算格式复杂，但其可以计算机化，程序也易标准化，故不影响其实际应用。
3）有限元法用统一的观点对区域内的节点和边界节点列出计算格式。这样各节点的计算精度总体比较协调。而有限差分法各节点精度总体上不够一致。
4）有限元法要求计算机内存量较大，需要准备输入的数据量也比较大，这是它的缺点之一。事实上，有限差分法比有限元法使用的更广法，有很多物理问题目前不能用有限元法处理，但总能可以用有限差分法处理。特别是在边界形状比较规则时，采用有限差分法是最合适的。
8、Monte Carlo方法的随机数生成法，伪随机数检验的两个最基本原则：
物理方法：用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另一种是利用计算机的固有噪声。
数学方法：在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法是数学方法，即用递推公式产生随机数序列。对于给定的初始值ξ1,ξ2…，ξk，确定ξn+k，n=1，2，…。经常使用的是k=1的情况，对于给定的初始值ξ1，确定ξn+1，n=1,2…
由于用数学方法产生的随机数存在两个问题，常称用数学方法产生的随机数为伪随机数。用数学方法产生的伪随机数容易在计算机上得到，可以进行复算，而且不受计算机型号的限制。因此，这种方法虽然存在着一些问题，但仍然被广泛地在计算机上使用，是在计算机上产生伪随机数的主要方法。
如今比较流行的，并用的最多的是同余产生器，其通过如下线性同余关系式来产生数列
其中，x0称为种子。a,c,x0,m为大于零的整数，分别称为乘子，增量，初值和模。使用时需要仔细挑选模数m和乘子a，使得产生出的伪随机数的循环周期要尽可能的长。c0时能实现最大的周期，但是得到的伪随机数特性不好。通常选取x0为任意的非负整数，乘子a和增量c取如:a=4q+1，c=2p+1 p,q为正整数。p, q, x0, m值选择一般是通过定性分析和计算机实验来选择，使得到的伪随机数列具有足够长的周期，而且独立性和均匀性都能通过一系列的检验。
伪随机数特性好坏是通过各种统计检验来确定的，这些检验包括均匀性检验，独立性检验，组合规律检验，无连贯性检验，参数检验等等。最基本的是均匀性和独立性的好坏检验。
9、分子动力学中的势函数及其基本限制：
势函数：对势(双体势)认为原子之间的相互作用是两两之间的作用，与其他原子的位置无关，在分子晶体，离子型化合物以及部分金属的模拟计算之中取得了比较大的成功。如Lennard-Jones势(下图) 常用于描述气体分子或水分子间的作用力；Morse势和Johnson势常用于描述金属。但对于过渡金属，由于金属键中还含有一定的共价键，所以遇到困难。
MD法和随机模拟法一样，面临两个基本限制：一是有限观测时间的限制；二是有限系统大小限制。
10、傅立叶导热方程：
法国数学家Fourier通过对导热数据和实践经验的归纳研究，将导热规律总结为Fourier定律，即单位时间内通过等温面的热流量与温度梯度及传热面积成正比：
dQ为单位时间内通过等温面的热流量(W)；k为材料导热系数(W/m.K)；n为边界法向；s为等温面面积(m2)；T为温度(K)。
11、应力场及应力—应变关系：
1) 应力
材料在外力作用下，其尺寸和几何形状会发生改变，在产生“变形”的同时，材料内部各部分之间会产生“附加内力”，简称“内力”。截面上某点处的应力，也就是这点处分布内力的集度，反映了截面上此点处内力的大小和方向。一点处的应力可以看作是该点位置坐标及所取截面方向的函数。
为描述弹性材料中一点P处的应力状态，围绕P点取出一个棱长为dx，dy，dz的微单元体，由于dx，dy，dz趋于无限小，这个单元体可等同于要考察的P点，因此研究单元体各个截面上的应力，也就等同于研究P点的应力状态。如下图：
弹性力学证明，六个切应力分量具有如下关系：
因此，如果已知材料任一点P处的x, y, z, xy , zy , zx这六个应力分量，就可以求出经过此点任意截面的正应力与切应力。也就是说这六个应力分量相互独立，能够唯一确定材料内任意一点处的应力状态。
2) 应变
描述物体受力发生变形后相对位移的力学量称为应变。应变分为正应变和切应变，由六个应变分量表示，分别为x, y, z, xy, yz, zx。正应变是指平行六面体各边的单位长度的相对伸缩；切应变是指平行六面体各边之间直角的改变，以弧度表示。对于正应变，伸长时为正，缩短时为负；对于切应变，两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小时为正，变大时为负。
3）物理方程(应力应变关系方程)
弹性体的应力应变关系可用Hooke定律描述。在三维情况下，弹性体内任意一点独立的应力分量有六个，其应力应变关系可以由广义Hooke定律表示为：
式中：E为弹性模量，v为泊松比，
12、金属中扩散规律：
Fick第一定律：
不均匀体系中，各自独立的分子群从高浓度区域迁移到低浓度区域的过程称为扩散。在稳态扩散条件下，扩散物质垂直穿过第i个单位截面的扩散通量(Ji)跟穿过扩散方程的浓度梯度(ci/ x)及其扩散系数(Di)有直接关系：
这就是Fick第一扩散定律的一维形式，负号表示通量是往浓度减少的方向。造成梯度的原因主要是浓度分布不均。
Fick第二定律：
实际上，大多数重要的扩散是非稳态的，在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化。为了研究这种情况，根据扩散物质的质量平衡，在Fick第一定律基础上推导了Fick第二定律，即：
如果Di为常数，得到：
如果是三维情况，则在x,y,z方向上的扩散系数分别为Dx,Dy,Dz，得到:
当为各向同性时，即Dx=Dy=Dz=D，得到：
13、数据库组成与特征：
数据库系统是指由数据库，数据库管理系统，应用程序，数据库管理员，用户等构成的人机系统。现代数据库系统至少包括以下三个部分：i)数据库，一个结构化的相关数据的集合，包括数据本身和数据间的联系，它独立于应用程序而存在，是数据库系统的核心和管理对象；ii)物理存储器，保存数据的硬件介质，如磁盘，光盘等大容量存储器；iii)数据库软件，负责对数据库管理和维护的软件。具有对数据进行定义，描述，操作和维护的功能，接受并完成用户程序及终端命令对数据库的不同请求，负责保护数据免受各种干扰和破坏。
主要特征：和文件管理方式相比，计算机数据库系统管理数据有以下几个特征：
a) 数据共享
b) 数据独立性
c) 减少数据冗余
d) 数据的结构化
e) 统一的数据保护功能
14、专家系统的组成：
专家系统由知识库、综合数据库、推理机、知识获取机制、解释机制和人机接口六个部分组成。
知识库是问题求解所需要的领域知识的集合，包括基本事实、规则和其他有关信息。
综合数据库主要由问题的有关初始数据和系统求解期间所产生的中间信息组成。
推理机是实施问题求解的核心执行机构，它实际上是对知识进行解释的程序，根据知识的语义，对按一定策略找到的知识进行解释执行，并把结果记录到动态库的适当空间中。
知识获取机制负责建立、修改和扩充知识库，主要是为了实现专家系统的自我学习，在系统使用过程中能自动获取知识，不断完善扩大现有系统功能。
解释机制是对求解过程做出说明，并回答用户的提问。两个最基本的问题是“Why”和“How”。
人机接口的主要功能是实现系统与用户之间的双向信息转换，即系统将用户的输入信息翻译成系统所熟悉的信息表达方式。
专家系统的工作过程是系统根据用户提出的目标，以综合数据库为出发点，在控制策略的指导下，由推理机运用知识库中的有关知识，通过不断的探索推理以实现求解的目标。
15、材料设计的概念及其三个层次：
定义：运用高性能计算机和功能强大的材料专业软件对材料科学与工程学科的基本要素及各要素之间的关系进行定量或半定量表征，在计算机上进行材料的成分和工艺设计，并预测其结构和性能，这就是所谓材料设计与模拟，又名计算材料学。
材料设计的研究层次，目前未有统一和严格的划分。一般来说，可按研究对象的空间尺度划分为三个层次：微观设计层次，空间尺度约为1nm；连续模型层次，尺度约为1m；工程设计层次，尺度对应宏观材料，涉及大块材料的加工和使用性能。
16、第一性原理的概念：
所谓第一性原理，是指只需要5个基本物理常数(电子质量me、电子电量e、普朗克常数h、真空的光速c和玻尔兹曼常数kB)以及原子种类和原子在空间中的位置安排(即晶体结构)，不需要其它经验参数，就可以非常精确地计算出体系的总能、微观结构与状态。
二、简答
1、计算机在材料科学与工程中的五大应用：(课本2—5页，自己总结归纳)
1）用于新材料和新合金的设计：
2）用于材料科学研究中的模拟：
3）用于材料工艺过程的优化及自动控制：
4）用于材料组成和微观结构的表征：
5）用于数据和图像处理及其他：
2.数学模型的含义和分类：
数学模型定义：
以相应的客观原型作为背景加以抽象的数学概念、数学式子、数学理论等叫做数学模型。或者是那些反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统叫做数学模型。其目的是解决实际的问题。
数学模型分类：
按建立模型的数学方法分类：图论模型、微分方程模型、随机模型、模拟模型等。
按模型的特征分类：离散模型、连续性模型、线性模型和非线性模型等。
3、FDM和FEM的解题步骤：
FDM解题步骤：
1)建立微分方程
根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。
2)构建差分格式
首先对求解区域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局、差分形式和步长；然后以有限差分代替无限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。
3)求解差分方程
差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括：精确法和近似法。精确法又叫直接法，主要包括矩阵法、Gauss消元法及主元素消元法等；近似法又叫间接法，以迭代法为主，包括直接迭代法、间接迭代法以及超松弛迭代法。
4)精度分析和检验
对所得到的数值进行精度与收敛性分析和检验。
FEM解题步骤：
有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。
1）网格划分
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
2）单元分析
对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。
由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。
3） 整体分析
对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如右图所示，在边界结点i上受到集中力作用。结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。
4.专家系统的分类：
按照工程中求解问题的不同性质，将专家系统分为下列几类：
1）解释专家系统：通过对已知信息和数据的分析和解释，确定它们的含义，如图像分析、化学结构分析和信号解释等。
2）预测专家系统：通过对过去和现在已知状况的分析，推断未来可能发生的情况，如天气预报、人口预测、经济预测、军事预测。
3）诊断专家系统：根据观察到得情况来推断某个对象机能失常（即故障）的原因，如医疗诊断、软件故障诊断、材料失效诊断等。
4）设计专家系统：工具设计要求，求出满足设计问题约束的目标配置，如电路设计、土木建筑工程设计、计算机结构设计、机械产品设计和生产工艺设计等。
5）规划专家系统：找出能够达到给定目标的动作序列或步骤，如机器人规划、交通运输调度、工程项目论证、通信与军事指挥以及农作物施肥方案等。
6）监视专家系统：对系统、对象或过程的行为进行不断观察，并把观察到行为与其应当具有的行为进行比较，以便发现异常情况，发出警报，如核电站的安全监视等。
7）控制专家系统：自适应地管理一个受控对象的全面行为，使之满足预期的要求，如空中交通管制、商业管理、作战管理、自主机器人控制、生产过程控制。
三、计算：
有限差分法在热传导方面的应用：
FDM解题示例
1. 问题
设有一炉墙，厚度为 ，炉墙的内壁温度T0=900C，外壁温度Tm=100 C，求炉墙沿厚度方向上的温度分布。
2. 分析
这是一个一维稳态热传导问题，其边界条件为T0=900C， Tm=100 C，可以用有限差分法求得沿炉墙厚度方向上的若干个节点的温度值。
FDM的数学基础：
在数值计算中，函数(function)被考虑成两列表格的形式。一列是独立变量的(离散)值xi,一列是xi处相应的函数值，记为fi或f(xi)。
采用算子(operator)的观点，定义三种算子：
(向前差分算子): fi fi+1 fi
(向后差分算子): fi fi fi1
(中心差分算子): fi fi+1/2 fi1/2
其中，fi1 = f(xih), fi1/2 = f(xih/2), xi+1xi=h,对所有i相同。
上述对应于一阶导数的差分称为一阶差分，相应的对应于二阶导数的差分称为二阶差分：
2fi =( fi+1 fi)=fi+22fi+1+fi
2fi = ( fi fi1)=fi2fi1+fi2
2fi =fi+12fi+fi1
三种算子有关系： 2= 。其余高阶差分可以依次类推。
函数的差分与自变量的差分之比，称为函数对自变量的差商。以二阶为例，其三种形式为：
向前差商：
向后差商：
中心差商：
多元函数的差分与差商也可用类似方法得到。
有限差分法的本质是用差分代替微分，用差商代替微商的几何意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真实变化率。对于一阶微商，存在以下三种典型的差分形式：
向前差商：
向后差商：
中心差商：
根据泰勒级数，可以计算出上述三种差分形式的误差，分别为：
从这三式可以看出，用不同方法定义的差商代替微商所引起的误差是不同的。用向前差商或向后差商代替微商，其阶段误差为O(x)，是x的一次方的数量级；用中心差商代替微商，其截断误差为O(x)2，是x二次方的数量级，即用中心差商代替微商比用向前差商或向后差商代替微商的误差小一个数量级。
因此，在应用FDM进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。
注意：1、选节点数目要适当4—5个为宜；
2、要严格依照解题步骤答题，尤其不要遗漏最后的精度分析和检验步骤。
『柒』 插值求导法
按照数学上的定义，一阶导数
地球物理数据处理基础
那么，对于已知f（x）在区间［a，b］上等距的n＋1个节点a＝x0<x1<x2<…<xn＝b的观测值f0，f1，f2，…，fn，如果精度要求不高，我们可以简单地取差商作为导数的近似值，这样便建立起一种用差商表示微分的方法：
地球物理数据处理基础
类似的，也可用向后和中心差商作近似运算：
地球物理数据处理基础
其实，中心差商式（7－19）是向前差商式（7－17）和向后差商式（7－18）的平均值。
因此，用差商的方法求数值微分是将导数计算归结为计算f（x）在若干节点上的函数值。下面，我们来分析差商法计算微分的误差，将f（x）在x＝xi处作泰勒级数展开有
地球物理数据处理基础
将上式代入式（7－19）右端项，得
地球物理数据处理基础
由此可知，从截断误差的角度分析，步长h越小，计算结果越精确。但当h很小时，f（xi＋h）与f（xi－h）很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，因此从舍入误差的角度来看，步长h是不宜太小的。下面的例子就很能说明该问题。
［例1］已知 请用中心差商公式求在x＝2处的一阶导数，保留4位有效数字，计算结果见表7－1（导数的准确值f′（2）＝0.353553）。
表7－1 不同步长的导数计算结果
可见,h＝0.1时的逼近效果最好，步长太小，反而逼近的效果越来越差。因此，应综合考虑两种误差因素，选取h要适当。
『捌』 三阶差商公式
向前差商公式：f'=(f(x0)-f(x0-h))/h。
向后差商公式：f'=(f(x0)-f(x0+h))/h。
中心差商公式：f'=(f(x0+h)-f(x0-h))/2h或者中心差商公式：f'=(f(x0+h/2)-f(x0-h/2))/h。
简介
差商即均差，一阶差商是一阶导数的近似值。对等步长(h)的离散函数f(x)，其n阶差商就是它的n阶差分与其步长的n次幂的比值。
例如n=1时，若差分取向前的或向后的，所得一阶差商就是函数的导数的一阶近似；若差分取中心的，则所得一阶差商是导数的二阶近似。
『玖』 差商公式：中心差商公式，向前差商公式，向后差商公式
向前差商公式：f'=(f(x0)-f(x0-h))/h
向后差商公式：f'=(f(x0)-f(x0+h))/h
中心差商公式：f'=(f(x0+h)-f(x0-h))/2h或者中心差商公式：f'=(f(x0+h/2)-f(x0-h/2))/h
『拾』 左差商公式
差商公式有向前差商，向后差商及中心差商公式。
向前差商公式：f'=(f(x0)-f(x0-h))/h
向后差商公式：f'=(f(x0)-f(x0+h))/h
中心差商公式：f'=(f(x0+h)-f(x0-h))/2h或者中心差商公式：f'=(f(x0+h/2)-f(x0-h/2))/h